VoxEU列经济研究前沿

约翰·纳什的经济学

凯文·布莱恩
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2015年5月27日

约翰·纳什本周去世。本专栏向一位对经济学的贡献极具影响力的数学家致敬。

本周，诺贝尔经济学奖和同样享有声望的阿贝尔数学奖得主约翰•纳什与妻子一起死于一场悲惨的车祸。由于拉塞尔·克劳在这部奥斯卡获奖影片中对纳什生活的刻画，纳什声名鹊起美丽心灵但他在经济学领域的名气并不需要这样的好莱坞待遇来保证。

纳什对经济学的贡献非常小，但影响力巨大。他是一个纯粹的数学家，在他的研究中只选修了一门经济学课程;稍后将详细介绍这个偶然的过程。纳什的贡献很简单:他创立了非合作博弈理论，并促成了一部重要的、但最终不成功的议价文献。纳什在每个主题上基本上只有两篇简短的论文，对现代读者来说，每一篇都很容易理解，所以我将大致讨论工作的一些背景，而不是直接讨论众所周知的结果。

首先,非合作游戏。罗伯特·伦纳德在博弈论的早期有一段非常有趣的思想史，博弈论是对战略互动的正式研究，早在纳什(Leonard 2012)之前就开始了。很多人喜欢引用冯·诺伊曼的(1928)“Zur Theorie der Gesellschaftsspiele”(“客厅游戏理论”)，从那里我们有了极小极大定理，但20世纪20年代初的埃米尔·波雷尔和10年前的恩斯特·泽梅洛和他的同名定理，肯定也形成了相关的史前史。这些早期的尝试，包括von Neumann与Morganstern的著作(von Neumann and Morgenstern 1944)，都不允许对我们现在所说的非合作游戏或玩家不试图共谋的战略情境进行全面调查。这类情况中最著名的是“囚徒困境”，一个简单却令人震惊的例子。竞争主体，无论是个人、公司还是国家，可能(在某种意义上)理性地发现自己采取的行动，双方都认为比其他选择更糟糕。鉴于美国政府对如何与苏联建立一个共同的核世界很感兴趣，分析这类情况在上世纪40年代末并非简单的“Gesellschaftsspiele”;纳什本人是由原子能委员会资助的，而兰德公司，这个大量重要的早期博弈论研究的网站，与军方有联系。

现在回想起来，纳什的见解非常简单。以足球中的点球为例，对于射手来说，唯一的选择是向左或向右踢，而对于守门员来说，同时向左或向右扑。乍一看，似乎不存在平衡:如果射手往左边踢，那么门将就会跳到那一边，在这种情况下，射手会倾向于往右踢，在这种情况下，门将也会倾向于换位置，以此类推。那么，在现实生活中，我们期望发生什么呢?好吧，我们当然希望射手有时会从左边射门，有时会从右边射门，同样守门员也会从哪个方向扑过去。也就是说，不再是每个参与人都有两种策略，而是一个混合策略的连续体，其中混合策略只是策略“左，右”的概率分布。

纳什意识到，混合策略的想法，以及合理的解决方案概念，即我根据自己对他人行为的信念进行优化，并使自己的信念最终正确，保证了每个有限策略博弈中的均衡，在此博弈中，玩家将期望效用最大化。证明的基本思想是混合策略使策略空间“凸化”，因此不动点定理保证均衡存在更重要的是，纳什用来生成他的均衡的不动点定理现在被广泛应用，以至于没有一个值得尊敬的经济学家在不了解它们是如何工作的情况下获得博士学位。

请注意纳什概念的有趣思想史:博弈论，与瓦尔拉斯/马绍尔经济学相反，不是来自物理学或其他自然科学，而是来自形式逻辑和数学的交叉学科，主要发生在20世纪初的德国。从某种意义上说，后萨缪尔森、冯·诺伊曼和纳什的经济学形成了一种相当连续的定性演绎法，而我们的姐妹社会科学，由于各种原因，在没有强大的现代逻辑和希尔伯特之后的数学工具的情况下继续写论文。当纳什根据布鲁尔的理论提出均衡的存在时，他的数学结构只是支撑和扩展了关于非合作系统中各主体间相互作用的思想而这些思想对于那些没有接触过不动点定理等工具的早期经济学家来说是完全熟悉的，同样的，萨缪尔森和胡塔克关于效用的思想与早期的研究并没有很大的区别，除了他们在关系逻辑的基础上明确地结合了演绎法，这个工具直到19世纪才为人所知。

纳什只把他的理论应用到一种游戏中:一种简化版的扑克，由他的导师命名为“库恩扑克”。在没有少量修改的情况下，纳什的非合作解决方案并没有立即得到更广泛的应用，至少在目前已司空见惯的应用情况下是这样。在我对思想史的阅读中，非合作博弈在最初的25年里在纯数学领域之外是一个失败的例子，因为我们仍然需要哈萨尼的净化定理和贝叶斯均衡来理解混合策略到底发生了什么，莱因哈德·塞尔顿的子博弈完美思想来合理地分析多阶段博弈，以及吉巴德、维克斯、赫维奇、迈尔森、马斯金的机制设计思想，和Satterthwaite(以及其他许多人)使讨论制度如何影响在均衡中决定的结果成为可能。纳什直接或间接影响的不仅仅是经济学家;在许多其他领域中，他的工作导致了梅纳德·史密斯和普莱斯在生物学和语言学中的进化博弈，1953年结果的上下限值被用来证明其他数学结果，并讨论哲学中的真理，纳什广泛用于政治科学和国际关系中投票行为的分析。

讨价还价的解决方案是一个更棘手的遗留问题。回想一下纳什在大学期间上的唯一一门经济学课程。在这门课上，他写了一篇学期论文，最终出现在费雪在那里，他试图公理化当双方就某个结果进行交易时将会发生什么(纳什1950b)。这个想法很简单。无论谈判结果如何，我们都希望它能满足一些合理的假设。首先，由于序数效用对效用函数的仿射变换是不变的，所以议价结果不应受这些类型的变换的影响;只有顺序偏好才是重要的。第二，结果应该是帕累托最优的——参与者必须非常恶毒，才会扔掉馅饼的一部分，而不是把它给至少他们中的一个人。第三，考虑到玩家的效用函数，他们应该被对称对待。第四(这一点有点争议，我们将会看到)，纳什坚持不相关选项的独立性，这意味着如果f(T)是“公平交易”的集合，而T是所有潜在交易的集合，那么如果潜在交易的集合更小，但仍然包含f(T)，假设S严格由T包含，f(T)在S中，那么f(T)必须保持交易的结果。事实证明，在这些假设下，有一个独特的最大化(u(x)-u(d))*(v(x)-v(d))的结果，其中u和v是每个参与者的效用函数，x是最终交易下的收益向量，d是不进行交易时的“现状”收益。这在很多情况下是很自然的。例如，如果两个相同的代理人平分一美元，那么五五开就是唯一的纳什结果。独特性并不明显;回想一下埃奇沃斯盒子，你会发现个体理性和帕累托最优就留下了很多潜在均衡。纳什的结果优雅而令人惊讶，也难怪纳什的研究生院推荐信只有一句话:“这个人是个天才。”

然而，纳什交易有一个问题。纳什在现实生活中是出了名的精神分裂患者，但纳什均衡和纳什交易的思想也有类似的两极感觉。纳什的交易理论中威胁到底在哪里?也就是说，纳什交易作为一种思想完全遵循了冯·诺伊曼和摩根斯坦的合作理论。考虑一下两个相同的代理人再一次平分一美元。假设其中一个代理已经有30美分了，所以实际上只有70美分在桌子中间。纳什解是，一开始有30美分的人最终得到65美分，另一个人得到35美分。但在你脑子里想象一下。

参与人1:“我已经有了30美分，应该得到剩下的一半。这是公平的，如果你不给我65英镑，我就离开这张桌子，我们每个人都不会得到更多。”

参与人2:“这有什么关系?公平的结果是每人50美分，这样你的钱就比原来的30美分多了，所以你可以带着威胁去跳桥了!”

也就是说，50/50可能是一个合理的解决方案，对吧?如果我们举一个更具体的例子:工资谈判，这可能会更有意义。想象一下你想要雇佣一位CEO。如果聘用两个相同的ceo，将为公司创造50万美元的价值。首席执行官候选人一号没有其他工作机会。首席执行官候选人二号获得了一份声望和福利类似的工作，薪酬为17.5万美元。当然，我们不能相信第二位CEO最终会获得更高的薪酬，对吧?接受17.5万美元的报价是一个完全不可信的威胁，因此它不应该影响谈判的结果。

纳什很清楚这一点，从他1953年的作品就可以看出费雪论文(Nash 1953)，他试图给出一个非合作的讨价还价博弈，以达到前面的公理结果。事实上，这篇论文激发了一个巨大的研究议程，称为纳什计划，致力于寻找非合作博弈产生众所周知或听起来合理的合作解决方案结果。在某种意义上，机制设计中的“执行”理念，即我们研究是否存在一种游戏能够在非合作的情况下产生社会或联盟偏好的结果，可以被认为是纳什计划的一个成功的现代分支。纳什1953年的非合作博弈只是在可能的结果集合中加入一点噪音。再考虑平分一美元。让第三方告诉每个玩家他们想要多少美分。如果联合请求是可行的，那么美元将被分割(剩余的部分将被丢弃)，否则每个玩家将一无所获。显然，在帕累托边界上的每一美元分配都是一个纳什均衡，就像每个玩家都要求得到全额美元却什么都得不到一样。然而，如果在决定是否要求更多的钱时，关于是否有1美元、99美分或101美分等问题有一点点噪音，我将不得不权衡更高的回报(如果共同需求是可行的)和回报为零(如果我的需求增加使分割不可能，因此我们都没有赚到任何东西)。粗略地说，纳什表明，当噪声的分布在真正的交易边界附近变得简并时，玩家将完全要求他们的纳什交易结果。 Of course it is interesting that there exists some bargaining game that generates the Nash solution, and the idea that we should study non-cooperative games which implement cooperate solution concepts is without doubt seminal, but this particular game seems very strange. What is the source of the noise? Why does it become degenerate? And so on.

然而，在纳什的肩膀上，谈判取得了巨大的进展。其中有三篇论文尤其值得你花时间阅读，尽管希望你之前看过它们:Kalai和smoodinsky(1975)，他们保留了公理方法，但放弃了IIA，这是鲁宾斯坦1982年的著名论文费雪关于替代性报价的非合作谈判的论文(Rubinstein 1982)，以及Binmore、Rubinstein和Wolinsky关于谈判解决方案的实施的论文，该方案涉及如上例子中的威胁思想(Binmore et al. 1986)。

你可以在午餐时间阅读纳什的四篇论文的原稿;在我看来，这是向一位使现代经济学成为可能的人致敬的一种值得称道的方式。